Tính ổn định và sự tuyến tính

Vì các số hạng 1, −2, 3, −4, 5, −6,... tuân theo một quy luật đơn giản, chuỗi 1 − 2 + 3 − 4 +... có thể được lợi dụng bằng cách chuyển chỗ và cộng từng số hạng để có thể cho ra kết quả là một con số. Nếu có thể viết s = 1 − 2 + 3 − 4 +... với một con số s bình thường, những bước sau củng cố ý tưởng rằng s = 1⁄4:[3]

4 s = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + ( 1 − 2 ) + ( 3 − 4 + 5 − 6 ⋯ ) = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) − 1 + ( 3 − 4 + 5 − 6 ⋯ ) = 1 + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + ( 3 − 4 + 5 − 6 ⋯ ) = 1 + [ ( 1 − 2 − 2 + 3 ) + ( − 2 + 3 + 3 − 4 ) + ( 3 − 4 − 4 + 5 ) + ( − 4 + 5 + 5 − 6 ) + ⋯ ] = 1 + [ 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ ] 4 s = 1 {\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}} Cộng 4 lần 1 − 2 + 3 − 4 +..., using only shifts and term-by-term addition, cho ra kết quả bằng 1

Vậy s = 1 4 {\displaystyle s={\frac {1}{4}}} .